sábado, 9 de maio de 2015

g



Autor: Leonardo Sioufi Fagundes dos Santos


   A aceleração da gravidade é aproximadamente 10m/s2. Mas o que significa a aceleração de 10m/s2? Que tipo de movimento está associado à 10m/s2? A resposta pode ser dada através de 4 passos.
Primeiro passo:  distinguir a velocidade média da instantânea.
   Velocidade média é o espaço percorrido dividido pelo tempo consumido durante o movimento. Por exemplo, se um corpo atravessa 20m em 1s, sua velocidade média é 20m/s. Outro exemplo, uma distância de 60m completada em 4s corresponde à velocidade média de 60m/4s=15m/s. Como último exemplo, a velocidade média de um caminho de 144km coberto em 2 horas é 144km/2h=72km/h.
   Caso o leitor não lembre a conversão de km/h para m/s, o leitor pode ler o artigo 3,6.
   Há infinitas formas de percorrer um espaço em um certo tempo. Por exemplo, um corpo que cobre 20ma cada 1s, completará 120m em 6s. Outra forma de deslocar um corpo por 120m em 6s é realizar 30m em3s e mais 90m em 3s (30m+90m=120m e 3s+3s=6s). Um terceiro exemplo é a travessia de 30m nos primeiros 2s, mais 60m em 2s e novamente 30m em 2s (30m +60m +30=120m e 2s+2s+2s=6s). Esses três casos ilustram que a velocidade média não garante uma informação detalhada do movimento. A mesma velocidade média de 120m/6s=20m/s foi obtida de três formas distintas.
   Um texto interessante sobre velocidade média está no artigo "O mais rápido chega antes?".
   Para obter uma análise detalhada do movimento, é necessário saber a posição em cada instante específico de tempo. Começando pela análise temporal, a variação do tempo em um instante específico é nula. Se a variação temporal é zero, um corpo não tem tempo de percorrer distância alguma. A velocidade média em um instante específico seria a divisão de zero (espaço percorrido) por zero (tempo consumido). Matematicamente, a divisão de zero por zero é indeterminada. A conclusão é que não existe uma velocidade média para um instante específico de tempo.
   A solução para o problema da instantaneidade data do séc. XVII. De forma independente, o inglês Isaac Newton (1642-1727) e o alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) criaram o cálculo diferencial. Através deste cálculo, é possível atribuir uma velocidade à cada instante de tempo sem a divisão de zero por zero. A velocidade em cada instante é denominada “velocidade instantânea”. Por exemplo, a afirmação de que um corpo tem velocidade de 20m/s no instante t=2s não significa que ele percorreu 20m em 1s, mas que ele tem essa velocidade no instante específico de t=2s.

Segundo passo: introduzir os conceitos de aceleração média e instantânea.
   Se um corpo tem uma velocidade instantânea em cada instante, sua velocidade pode variar no tempo. A divisão da variação de velocidade instantânea pelo tempo consumido é denominada aceleração média. Por exemplo, se um corpo aumentou de velocidade de 3m/s para 9m/s (variação de velocidade de 9m/s-3m/s=6m/s) em 2s, sua aceleração média foi de 6(m/s)/2s=3(m/s)/s. Já uma variação de velocidade de80m/s em 4s corresponde a uma aceleração média de 80(m/s)/(4s)=20(m/s)/s. Enfim, um corpo que acelerou do repouso até 72km/h em 10s tem uma aceleração de 72(km/h)/10s=7,2(km/h)/s.
   A unidade de aceleração (m/s)/s, metro por segundo por segundo, envolve a divisão de m/s por s. Uma expressão deste tipo pode ser simplificada. Por exemplo, (1/2)/2 é a metade de uma metade, portanto, um quarto:  (1/2)/2=1/4. Analogamente, dois terços dividido por 3 é a nona parte de 2(2/3)/3=2/9. Repetindo o raciocínio, (7/4)/4=7/16. O leitor pode notar um padrão:
(1/2)/2=1/4=1/22
(2/3)/3=1/9=1/32
(7/4)/4=7/16=1/42
   Seguindo o mesmo procedimento:
(m/s)/s=m/s2
   Finalmente o significado de m/s2 fica claro. A unidade de aceleração m/s2 corresponde a uma variação de 1m/s em cada 1s. Por exemplo, um corpo que aumentou sua velocidade instantânea de 4m/s para16m/s em 3s tem aceleração média de 12(m/s)/3s=4m/s2. Inversamente, um corpo com aceleração de8m/s2 aumenta sua velocidade instantânea em 8m/s a cada 1s. Assim, em 2s, um corpo com aceleração8m/s2 aumenta sua velocidade instantânea em 16m/s.
   Assim como existe uma velocidade instantânea, existe também uma aceleração instantânea. Por exemplo, que um corpo pode ter uma aceleração instantânea de 5m/s2no instante t=3s. Analogamente ao conceito de velocidade instantânea, uma aceleração instantânea de 5m/s2não implica que após 1s o corpo aumentou sua velocidade instantânea em 5m/s. Continuando com o mesmo exemplo, é apenas no instante exato t=3s que o corpo tem a aceleração 5m/s2.

Terceiro passo: Finalmente, abordar aceleração da gravidade.
   A Terra atrai os corpos no sentido de seu centro. O atrito com o ar se opõe a este movimento de queda. A combinação da atração gravitacional terrestre e do atrito com o ar dá a cada corpo uma forma diferente de queda. Por exemplo, em uma bolinha de gude e em objetos esféricos em geral, o atrito com o ar é muito pequeno. A queda destes corpos até o solo é bem rápida. Já no caso de uma pena ou de uma folha de papel, o atrito com o ar é muito grande, suavizando a queda.
   Quando o atrito com o ar é desprezível, a queda de um corpo tem aceleração instantânea constante. Essa aceleração é chamada de “aceleração da gravidade” e é representada como “g”. Quando a aceleração é constante, a aceleração média coincide com a instantânea.
   É interessante assistir este vídeo comparando a queda de uma bola e uma pena no interior de um tubo sem ar em seu interior: vídeo do catavento.
   Há pequenas variações da ordem de 0,5% na aceleração da gravidade ao redor do globo terrestre. O valor de g do Sistema Internacional de Unidades é de 9,80665m/s(página 57 do link Sistema Internacional (SI) de Unidades, versão em inglês). Alguns autores usam o arredondamento de g como 9,8m/9,80665m/s2. Como mencionado no início do texto, g pode ser arredondada para 10m/s2.
    Considerando que g=10m/s2, a cada 1s a velocidade instantânea aumenta 10m/s. Assim, um corpo largado de uma certa altura a partir do repouso, terá velocidade instantânea 10m/s após 1s. Depois de 2sde queda, a velocidade instantânea será 20m/s, em 3s30m/s e assim por diante. A velocidade instantânea cresce com o tempo, ou seja, o corpo cai cada vez mais rapidamente.
   Muitos autores acrescentam um sinal negativo na aceleração da gravidade. Eles afirmam que a aceleração da gravidade é -10m/s2. A razão deste acréscimo é a convenção de que o sentido de baixo para cima é positivo. Consequentemente, o sentido de cima para baixo fica negativo. Como os corpos aceleram para baixo, a aceleração da gravidade pode ser representada como negativa. Esta representação é muito útil em problemas envolvendo a ascensão de corpos. Por exemplo, um corpo atirado para cima com velocidade instantânea 40m/s, após 1s estará com 30m/s (uma soma de -10m/s em 1s ou 40m/s+(-10m/s)=30m/s). Neste texto, a aceleração continuará sendo considerada positiva porque apenas a queda a partir do repouso será abordada.

Quarto passo: Analisar a distância percorrida durante a queda.
   O aumento da velocidade instantânea não dá uma ideia exata da distância percorrida durante a queda. Por exemplo, após 1s de queda, um corpo atinge a velocidade instantânea de 10m/s. Um raciocínio rápido e equivocado pode levar a conclusão de que após 1s o corpo tem velocidade de 10m/s, logo caiu 10m. O problema deste raciocínio é a confusão entre “velocidade instantânea” e “velocidade média”. Durante o intervalo entre 0 e 1s, um corpo em queda aumenta de velocidade instantânea de 0 para 10m/s. Por exemplo, em t=0,4s, o corpo tem velocidade instantânea de 4m/s. Para cair 10m, o corpo precisaria ter caído o tempo todo com velocidade instantânea de 10m/s, fato que só ocorre no instante exato t=10s.
    Se a velocidade instantânea aumentou progressivamente de 0 para 10m/s entre os instantes t=0 et=10m/s, a velocidade média é a média entre 0 e 10m/s5m/s. Assim, no primeiro segundo de queda o corpo percorre 5m. Em suma, após 1s, o corpo caiu 5m e atingiu velocidade instantânea de 10m/s.
   O mesmo raciocínio pode ser repetido para o instante 2s. As velocidades instantâneas nos instantes 0 e2s são respectivamente 0 e 20m/s. A velocidade média entre estes instantes fica a média entre 0 e 20m/s:10m/s. Para atingir uma velocidade média de 10m/s em 2s, o corpo deve cair 20m. Resumindo, após 2s, o corpo baixou 20m e sua velocidade instantânea ficou 20m/s.
   Antes de prosseguir, é interessante pensar no que acontece entre 1s e 2s após largar o corpo. As velocidades instantâneas são respectivamente 10m/s e 20m/s. A velocidade média entre estes instantes é a média entre as velocidades 10m/s e 20m/s15m/s. Assim, entre 1s e 2s, o corpo cai 15m. Então o corpo caiu 5m entre 1s, mais 15m entre 1s e 2s, totalizando 5m+15m=20m nos dois primeiros segundos. Isso confirma o resultado do parágrafo anterior.
   Repetindo o mesmo raciocínio, o leitor poderá concluir que no instante 3s o corpo atingiu 30m/s, a velocidade média entre 3s foi 15m/s e a distância percorrida foi 45m.
   Muitas outras coisas poderiam ser faladas sobre a aceleração da gravidade. No entanto, o objetivo deste texto foi apenas mostrar uma outra forma de estudar o problema da queda dos corpos.
   Caso o leitor esteja interessado em maiores informações sobre a aceleração da gravidade, fica a recomendação do antigo vídeo abaixo:  Lei da Queda dos Corpos.

O mais rápido chega antes?


Autor: Leonardo Sioufi Fagundes dos Santos


   Dois veículos apostam uma corrida. O mais rápido ganha a corrida. Isso é óbvio. No entanto, nem sempre é óbvio saber quem é o mais rápido. A corrida fictícia abaixo é um exemplo disso.

   Uma corrida é disputada por dois pilotos em uma pista de 120km (120 quilômetros). O piloto do primeiro veículo se chama Constâncio. Ele é calmo e gosta de andar com velocidade constante. O carro de Constâncio corre a 90km/h (90 quilômetros por hora), não alterando sua velocidade em momento algum. O nome do segundo piloto é Inconstâncio. Este piloto começa a corrida com 60km/h. No meio do caminho, depois de 60km percorridos, Inconstâncio aumenta a velocidade para 120km/h.
   As velocidades médias de Inconstâncio nas duas metades da corrida são 60km/h e 120km/h. A média entre as velocidades médias é exatamente 90km/h. Esta média coincide com a velocidade de Constâncio. Os pilotos empatam a corrida?

   Para saber quem ganha a corrida, é necessário calcular o tempo para cobrir o caminho. Constâncio corre a uma velocidade de 90km/h, o que equivale a 90km a cada 60 minutos. Em 20 minutos (um terço de 60 minutos), o carro percorre 30km (um terço de 90km). Para cobrir uma distância de 120km=90km+30km, o veículo demora 60min+20min=80min. Então Constâncio leva 80 minutos para percorrer os 120km.

   Inconstâncio percorre o primeiro trecho de 60km em 1 hora porque sua velocidade é 60km/h. O segundo trecho de 60km é percorrido com o dobro da velocidade, 120km/h. Se a velocidade dobrou e a distância é a mesma, o tempo é dividido por 2. Assim, Inconstâncio cumpre o segundo trecho de 60km em meia hora ou 30 minutos. Gastando 60 minutos na primeira parte e 30, na segunda, Inconstâncio consome 60+30=90 minutos.

   Comparando os tempos de Constâncio e Inconstâncio, 80 e 90 minutos, o primeiro ganha a corrida. Inconstâncio é mais lento no primeiro trecho, mais rápido no segundo e no total gasta mais tempo. A velocidade média de Inconstâncio é de 120km para cada 90 minutos, o que equivale a 40km (um terço de 120km) para 30 minutos (um terço de 90km) ou meia hora. Com 40km a cada meia hora, em uma hora inteira completam-se 80km. A velocidade média de Inconstâncio é de 80km/h, enquanto Constâncio corre a 90km/h. Em média, Constâncio foi mais rápido.

   Inconstâncio pede uma revanche em uma pista de 180km. Constâncio aceita e repete a tática de correr a velocidade constante de 90km/h. Inconstâncio muda de tática. Agora ele não corre distâncias iguais, mas tempos equivalentes com velocidades diferentes. Durante uma hora ele corre a 60km/h. Depois, durante mais uma hora, ele fica a 120km/h.

   A 90km/h, Constâncio cumpre 180km em duas horas. Já Inconstâncio corre 60km/h durante uma hora, percorrendo 60km. Em mais uma hora, Inconstâncio cobre 120km porque está a 120km/h. Em 2 horas, Inconstâncio completa 60+120=180km. Inconstâncio e Constâncio cruzam juntos a linha de chegada.

   Na segunda corrida, as velocidades médias de Inconstâncio e Constâncio coincidem em 90km/h porque ambos percorrem 180km em 2 horas. Neste caso, a velocidade média em duas horas é a média das velocidades em cada hora: 60km/h e 120km/h.  Com este empate, Constâncio e Inconstâncio podem notar que a velocidade média só é igual à média das velocidades médias se os tempos forem iguais.

   O objetivo deste texto é abordar superficialmente o conceito de velocidade média. A meta do texto não é estimular corridas. Apostar corridas com carros e motos em ruas e estradas é crime. Aprender Física é sublime. 

sexta-feira, 15 de novembro de 2013

3,6

Autor: Leonardo Sioufi Fagundes dos Santos

Muitas pessoas decoram uma regra para a conversão da velocidade de metros por segundo (m/s) para quilômetros por hora (km/h). Elas multiplicam a velocidade em m/s por 3,6. Por exemplo, a velocidade de 14 m/s é igual à 14 x3,6 km/h=50,4km/h. Analogamente, a conversão de km/h para m/s consiste na divisão por 3,6. Então, a velocidade de 90km/h equivale à (90/3,6)m/s=25m/s. Por que essa regra dá certo? 
 
Para entender a conversão da velocidade de m/s para km/h, é interessante usar o exemplo 10m/s. Um minuto tem sessenta segundos (1min=60s). Se um corpo tem velocidade de 10m/s, em um minuto ele percorre 60s x 10m/s=600m. Então a velocidade de 10m/s equivale a 600m/min.
 
10m/s=600m/min
 
Continuando o mesmo raciocínio, uma hora tem sessenta minutos (1h=60min). Se um corpo corre 600m por minuto, em uma hora ele cobre 60min x 600m/min=36.000m. Então a velocidade de 600m/min é igual a 36.000m/h. Como um quilômetro equivale a mil metros (1km=1.000m), 36.000m pode ser reescrito como 36km. Logo, 600m/min e 36km/h são duas formas de escrever a mesma velocidade.
 
600m/min=36km/h
 
Se 10m/s=600m/min e 600m/min=36km/h então:
 
10m/s=36km/h
 
Há outra forma de deduzir a igualdade acima. Uma hora tem sessenta minutos e cada minuto, sessenta segundos. Então uma hora tem 60 x 60s=3.600s. Um corpo que está a 36km/h anda 36.000m em 3.600s. Em m/s, sua velocidade é de 36.000m/3.600s=10m/s.
 
Um décimo de 10m/s é 1m/s. Já um décimo de 36km/h é 3,6km/h. Como 10m/s=36km/h, um décimo desta velocidade pode ser expresso como:
 
1m/s=3,6km/h
 
Se cada m/s tem 3,6km/h, 2m/s terá o dobro de 3,6km/h, 3m/s, o triplo de 3,6km/h e assim por diante. Qualquer velocidade em m/s multiplicada por 3,6 será a equivalente em km/h. Os exemplos abaixo facilitam a compreensão:
 
2m/s=2 x 3,6km/h=7,2km/h
 
3m/s=3 x 3,6km/h=10,8km/h
 
4m/s=4 x 3,6km/h=14,4km/h
 
5m/s=5 x 3,6km/h=18km/h
 
Como a conversão de m/s para km/h se faz através da multiplicação por 3,6, a transformação inversa exige a divisão pelo mesmo número. Em outras palavras, a velocidade em km/h dividida por 3,6 corresponde a mesma em m/s. Por exemplo,

54km/h=(54/3,6)m/s=15m/s

72km/h=(72/3,6)m/s=20m/s

108km/h=(108/3,6)m/s=30m/s

Nos exemplos acima, a divisão por 3,6 deu um resultado exato. Isso é raro! Geralmente a divisão por 3,6 resulta em dízima periódica. Por exemplo, 10/3,6=2,7777777... (as reticências indicam que há infinitos algarismos 7). No caso de dízima periódica, é necessário arredondar o resultado. Para simplificar as contas, o arredondamento será até a primeira casa decimal. Voltando ao mesmo exemplo, 10/3,6 pode ser arredondado para 2,8. Assim, 10km/h=(10/3,6)m/s=2,8m/s. Outros exemplos são dados a seguir:
 
20km/h=(20/3,6)m/s=5,555...m/s    arredondado para 5,6m/s
 
30km/h=(30/3,6)m/s=8,333... m/s    arredondado para 8,3m/s
 
40km/h=(40/3,6)m/s=11,111.... m/s arredondado para 11,1m/s
  
   Uma aplicação importante da conversão de km/h para m/s é a conscientização dos motoristas de carros, motos, ônibus, etc. Os velocímetros dos veículos automotores exibem a velocidade em km/h. Provavelmente, os primeiros fabricantes de veículos pensaram que suas criações percorreriam alguns quilômetros em algumas horas. Por exemplo, uma distância de 120km percorrida à 80km/h leva 1,5h (uma hora e meia). No entanto, acidentes ocorrem em poucos segundos com deslocamentos de alguns metros. Como exemplo, um motorista pode achar pequena a velocidade de 48km/h em um perímetro urbano. Mas convertendo a velocidade em m/s, ele concluirá que 48km/h=(48/3,6)m/s=15m/s. Com apenas 2 segundos de distração do motorista, um carro a  48km/h=15m/s percorrerá 2s x15m/s=30m de distância. Andar distraído por 30m pode resultar em um atropelamento, uma batida, a passagem por um sinal vermelho, etc. Aplicar a conversão de km/h para m/s pode converter um motorista inconsequente em um cidadão mais responsável.
 
   O leitor pode continuar usando a regra do 3,6 sem entende-la. Mas entender não é melhor do que simplesmente decorar?

terça-feira, 11 de setembro de 2012

Jeann Carlos! Muito obrigado!

Jeaan Carlos! Muito obrigado!

   Jeann Carlos foi estudante no CEFET-MG no curso técnico de Química. Atualmente ele é estudante da Univerisade Federal de Viçosa!
   Jeann percebeu um erro de português em um texto de 2008. Li e reli e não percebi. Que vergonha! O erro está no artigo "Uma análise fria sobre o fogo". Escrevi "joguando" e jogarei fora este erro.
   A equipe unitária  do blog "Quente e Calculista" agradece!

quarta-feira, 20 de junho de 2012

Zero parece nada, mas não é


Autor: Leonardo Sioufi Fagundes dos Santos

Texto originalmente publicado na revista Vox Scientiae do Núcleo José Reis da ABRADIC no número 53, edição de Nov/Dez de 2009.

   Muitas pessoas acham que o zero é o número do nada. Se não há elefantes em sua casa, quantos estão lá? Zero. Se os bombons de uma caixa acabaram, quantos sobraram? Zero. O próprio símbolo do zero, 0, é um espaço vazio.

   O zero é chamado de número nulo. Consequentemente os números diferentes de zero são denominados “não nulos”. Mas ser nulo é diferente de não ser. Se o zero fosse nada, ele não poderia ser incluído em vários conjuntos numéricos. Para entender o zero é necessário estudar a relação dele com os outros números.

Zero na soma

   O zero na soma não faz diferença. Somar com zero e não somar é a mesma coisa. Por exemplo:

1+0=1

2+0=2

0+0=0

(-1)+0=-1

(-2)+0=-2

   Cada número envolvido em uma soma é chamado de parcela. A odem das parcelas não altera a soma. Por exemplo, 2+3=3+2=5, 3+7=7+3=10, etc. Em linguagem matemática, a soma obedece a “propriedade comutativa”. Por exemplo:

0+1=1+0=1

0+2=2+0=2

(-1)+0=0+(-1)=-1

(-2)+0=0+(-2)=-2

   Assim zero somado com outro número resulta no “outro número”. Então somar um número com zero ou somar zero com outro número sempre resulta no “outro número”. Por esta razão, o zero é definido pelos matemáticos como “elemento neutro da soma”. Elemento neutro porque ele não altera o número somado.

   A frase “algo mais nada é algo” parece com “um número mais zero é o próprio número”. Qual é a diferença entre considerar o zero um nada ou o elemento neutro da soma?

Zero na subtração

   Subtrair zero de algum número implica em não diminuir o número. Assim um número menos zero é ele mesmo. Por exemplo:

1-0=1

2-0=2

0-0=0

(-1)-0=(-1)

   Mas quanto vale zero menos um número? Se há 3 litros de água em um balde, é impossível retirar 7 litros dele. Neste contexto não faz sentido subtrair o maior do menor. Mas se uma pessoa tem 3 reais, ela pode gastar 7 e endividar-se. A dívida seria de 4 reais, o que equivale a ter (-4) reais. Então há contextos onde faz sentido subtrair um número de zero.

   A subtração não é uma operação comutativa. Subtração é anticomutativa. Em outras palavras, mudando a ordem dos números envolvidos o resultado inverte de sinal. Por exemplo:

7-3=4

3-7=-4

ou

(-1)-2=-3

2-(-1)=3

   Assim zero menos um número pode ser resolvido. Por exemplo:

1- 0=1

0-1=-1

ou

2-0=2

0-2=-2

ou ainda

(-1)- 0=-1

0-(-1)=1

   Observando apenas os resultados finais, é possível notar que o zero inverteu o sinal do outro número. Zero menos 1 resultou no 1 invertido, (-1). Zero menos 2 ficou (-2). Da mesma forma, o zero menos (-1) resultou no inverso de (-1), 1.

   Subtrair um número “por” zero não altera nada. A frase “algo menos nada é algo” faz sentido. Mas subtrair um número “de” zero inverte o sinal. Então o zero começa a aparecer como um número que faz diferença. Se o zero é nada, então “nada menos algo é o oposto de algo”. Se o oposto de algo sai do nada, este nada é alguma coisa.

Zero na multiplicação

   Multiplicar zero por algum número não nulo equivale a somar o zero várias vezes.

0x1=0

0x2=0+0=0

   No exemplo acima o zero foi somado com ele mesmo. O segundo zero não alterou o primeiro. Outra forma de ver esta conta é que o primeiro zero não alterou o segundo. Assim 0+0=0. De forma análoga

0x3=0+0+0=0

0x4=0+0+0+0=0

e assim infinitamente.

   Então zero multiplicado por qualquer outro número é zero. Mas e quando se multiplica um número por zero? A ideia de que a multiplicação é uma soma de parcelas não ocorre neste caso. Por exemplo, 2x0 é o número 2 somado “zero” vezes? Faz sentido somar “zero” vezes?

   A multiplicação segue a “propriedade comutativa”. Assim como a soma, multiplicação não depende da ordem dos fatores. Por exemplo, 2x3=3x2=6, 3x5=5x3=15, etc.

   Usando a propriedade comutativa da multiplicação é possível ver que o zero multiplicado por qualquer número também é zero. Por exemplo:

0x2=2x0=0

0x3=3x0=0

   Então basta que o zero seja um dos fatores para que a multiplicação resulte em zero. Zero vezes zero também é zero

0x0=0

   Se o zero em qualquer um dos fatores resulta em zero, então:

(-1)x0=0x(-1)=0

(-2)x0=0x(-2)=0

   Zero no produto sempre resulta em zero. Na multiplicação o zero comporta-se como algo a partir do qual tudo é tragado. Os matemáticos chamam isso de “propriedade absorvente do zero”. “Um número vezes nada é nada”, dizem alguns. Se o zero é nada, o nada tem o grande poder de absorver tudo.

Zero na divisão

   Dividir um número por outro implica em completar uma multiplicação. Por exemplo, 10 dividido por 2 é o número que multiplicado por 2 é 10. O número que multiplicado por 2 é 10 é o 5. Então 10/2=5 porque 5x2=10.

   Usando outro exemplo 15/3 é o número que multiplicado por 3 é 15. Então 15/3=5 porque 5x3=15.
Quanto é zero dividido por algum número não nulo? Por exemplo, 0 dividido por 2 é o número que multiplicado por 2 é 0. O único número que multiplicado por 2 é 0 é o próprio 0. Então 0/2=0 porque 0x2=0. 

   Da mesma forma 0/1=0 porque 0x1=0. Enfim, zero dividido por qualquer número não nulo é zero porque zero multiplicado por qualquer número não nulo é o próprio zero. Por exemplo:

0/3=0 porque 0x3=0

0/(-1)=0 porque 0x(-1)=0

   A divisão não é comutativa, ou seja, ela depende da ordem dos números envolvidos. Se zero dividido por um não nulo é zero, não significa que um número não nulo dividido por zero também seja zero. Quanto é um número não nulo dividido por zero?

   Por exemplo, 1/0 é o número que multiplicado por 0 dá 1. Mas nenhum número multiplicado por 0 é 1. Todo número multiplicado por 0 é 0, nunca é 1. Assim 1/0 não existe porque não há número que multiplicado por 0 seja 1.

   Repetindo o raciocínio, 2/0 também não existe porque não há número que multiplicado por 0 seja 2. Enfim, “todo número não nulo dividido por 0 não existe” porque não há número que multiplicado por 0 resulte em não nulo.

   Zero dividido por um número não nulo é zero, mas um número não nulo dividido por zero não existe. Quanto vale 0/0?

   O número 0/0 multiplicado por 0 é 0? Qualquer número multiplicado por zero é zero. Assim 0/0 é chamado de “indeterminação”. O problema de 0/0 não é porque o resultado não existe, mas sim porque há infinitos resultados possíveis. A divisão 0/0 pode ser 1 porque 0x1=0, pode ser 2 porque 0x2=0, etc.

   Zero dividido por um número não nulo é zero. Se o zero é nada, então “nada dividido em várias partes é nada”. Mas quando um número não nulo é dividido por zero, o resultado não existe. Assim qualquer número não nulo dividido por zero é o próprio nada. As afirmações “um número não nulo dividido por zero é nada” e “algo dividido pelo nada é nada” tem sentido claramente diferente. Na segunda afirmação, se o nada é zero, “um número dividido por zero é zero”, o que é falso. Fica claro que zero não é nada.

   O número 0/0 seria a própria antítese do nada, o tudo. Assim como o nada não é um número, o tudo também não é.

Zero na potenciação

   Assim como a subtração e a divisão, a potenciação não é comutativa. Em outras palavras, trocando a ordem dos números o resultado pode mudar. Por exemplo:

2³=2x2x2=8

3²=3x3=9

   O primeiro e o segundo números da operação de potenciação são chamados respectivamente de base e expoente. Por exemplo, na operação 2³, 2 é a base e 3 é o expoente. Já em 3², 3 é a base e 2 é o expoente.

   Zero elevado a algum número não nulo é zero. Assim:

0¹=0

0²=0x0=0

0³=0x0x0=0

   Como potenciação não é uma propriedade comutativa, não se pode concluir que um número diferente de zero elevado à zero é zero. Mas há uma propriedade na potenciação que pode fornecer a resposta.

   Diminuindo em 1 o expoente, o resultado fica dividido pela base. Se o leitor não entendeu o que foi dito, observe o exemplo:

2⁴=16

   A base é 2 e o expoente é 4. Diminuindo o expoente em 1, ele fica 4-1=3.

2³=16/2=8

   O expoente diminui em 1 (de 4 para 3) e o resultado foi dividido por 2 (de 16 para 8). O processo pode ser repetido, diminuindo em 1 o expoente.

2²=8/2=4

2¹=4/2=2

   A cada dimimuição do expoente o resultado é dividido por 2. Se o expoente diminuir mais uma unidade e o resultado for dividido por 2.

2⁰=2/2=1

   A conta pode ser repetida para qualquer base. No exemplo abaixo a base é 3. O expoente continua diminuindo de 1 em 1 e o resultado vai sendo dividido por 3.

3⁴=81

3³=81/3=27

3²=27/3=9

3¹=9/3=3

então

3⁰=3/3=1

   Assim como 2⁰=1, 3⁰=1. Para mostrar que um número não nulo elevado à 0 fica 1, a lista acima pode começar com o expoente 1. Por exemplo:

4¹=4
4⁰=4/4=1

5¹=5
5⁰=5/5=1

1¹=1
1⁰=1/1=1

(-1)¹=-1
(-1)⁰=(-1)/(-1)=1

   O raciocínio pode ser repetido infinitamente. Um número não nulo elevado a 1 é ele mesmo. Assim um número não nulo elevado à zero é o número dividido por ele mesmo, ou seja, 1.

   Zero elevado a qualquer número é 0. Um número elevado a zero é 1. Qual é o valor de 0⁰? Zero ou 1?

0¹=0
0⁰=0/0 indeterminação

Assim 0⁰ é uma indeterminação.

   Zero elevado à um número não nulo é zero. “Nada elevado à alguma coisa é nada”, alguns podem pensar. Mas um número não nulo elevado à zero não é zero. Assim, se o zero é nada, é necessário admitir que “um número não nulo elevado à nada é 1”. Zero elevado à zero é uma indeterminação. Pensar no zero como nada conduz à conclusão que “nada elevado à nada é uma indeterminação”.

Abandonando o nada e partindo do zero

   Muitos estudantes aprenderam que o “zero é nada” e portanto “um número mais nada é ele mesmo”, “um número menos nada é ele mesmo”, “um número vezes nada é nada”, etc. Estes estudantes tem dificuldade de entender o papel do zero na subtração, na divisão e na potenciação. Zero parece nada, mas não é. Enquanto a concepção errada sobre o zero continuar, o estudante decorará algumas regras algébricas sem entende-las.

   A falha de todo o raciocínio sobre o zero é a tentativa de defini-lo em si mesmo. Quando zero é definido como “elemento neutro da soma”, ele não está sendo entendido em si mesmo, mas em sua relação com os outros números. “Elemento neutro da soma” é o número que na soma com os “outros números” não altera nada.

   O zero é muito mais complexo do que parece. Quem pensou que ia encontrar o nada no zero se enganou. Zero pode ser o ponto de partida da própria matemática moderna.



terça-feira, 27 de março de 2012

Aziz vai embora, mas Saber permanece.

   O autor dos textos deste blog teve a honra de ver Ab Saber em fevereiro de 2008, em um dos prédios da ECA-USP. Nacib proferiu uma aula para os estudantes do Núcleo José Reis. O nome "Ab Saber" que aparecia nas legendas dos mapas do Brasil tornou-se uma pessoa real. A combinação de humildade e rigor científico tornavam Aziz Nacib Ab Saber uma pessoa fascinante.

   Aziz nasceu no interior de São Paulo, na cidade de São Luís de Paraitinga, no dia 24 de outubro de 1924. Pai libanês, mãe brasileira e alma universal, Nacib representou uma síntese do Brasil. Ab Saber começou seu curso de Geografia e História na USP aos 17 anos. Desde esta época nunca parou de aprender e ensinar. Suas contribuições estão em todos os ramos da geografia e ciências afins: geologia, geomorfologia, hidrografia, ecologia, arqueologia, etc. Os mapas do Brasil de Aziz Ab Saber marcaram gerações de pesquisadores e estudantes. É impossível abrir livros de geografia dos ensino fundamental e médio das últimas 6 décadas e não ver um mapa de Ab Saber.


   No dia 16 de março deste ano de 2012, o coração de Aziz parou. Mas o saber que ele legou continua pulsando nas mentes e nos corações de pesquisadores e estudantes do Brasil e do mundo.

  

  


segunda-feira, 6 de fevereiro de 2012

Evento de Divulgação Científica do campus de Diadema da UNIFESP "2011, o ano em que a Química reagiu" foi notificado no Boletim da Associação Brasileira de Divulgação Científica (ABRADIC).

   Em novembro de 2011, ocorreu o evento de divulgação científica em Química "2011, o ano em que a Química reagiu" no campus de Diadema da UNIFESP. O evento foi parte das comemorações do Ano Internacional da Química (2011), conforme publicado neste próprio blog (http://quentecalculista.blogspot.com/2011/10/2011-o-ano-que-quimica-reagiu.html).

   A Associação Brasileira de Divulgação Científica (ABRADIC) publicou uma nota sobre o evento na edição de janeiro de 2012 de seu boletim Pro Scientiae . Os autores da nota foram estudantes do Curso de Ciências - Licenciatura, do próprio campus da UNIFESP de Diadema: Aline D. G. Ciola, Elisabete Guitzel e Eduardo F. Caetano.

   A nota pode ser lida no endereço: 


   Desde sua fundação em 2001, a ABRADIC tem sido um dos principais órgãos de divulgação científica brasileira. Que este sopro da ABRADIC anime a divulgação científica em Diadema e em todo o ABC!